5.3.3.4 Weibull-Modul
Mit einer von Weibull entwickelten Theorie,
die auf dem Konzept des Versagens aufgrund des schwächsten
Gliedes beruht, lässt sich das Streuverhalten der Festigkeit
keramischer Materialien mathematisch gut beschreiben. Eine
wichtige Voraussetzung dabei ist, dass das Versagensverhalten
durch einen einzigen „Fehlertyp“ (Gefügeinhomogenität)
bestimmt wird. Weibull wählte zur Beschreibung des Festigkeitsverhaltens
eine spezielle Form der Extremwertverteilung, die später
nach ihm benannte Weibull-Verteilung.
Damit ergibt sich bei Kenntnis der Verteilungsparameter ein
eindeutiger Zusammenhang zwischen der Belastung und der Bruchwahrscheinlichkeit.
Außerdem geht das Festigkeitsniveau bei einer Ausfallwahrscheinlichkeit
von 63,2 % ( 0)
ein und der Weibull-Modul m ist damit ein
Maß für die Festigkeitsstreuung. Je höher
der Weibull-Modul liegt, umso homogener ist der Werkstoff
(d. h., die „Defekte“ sind sehr gleichmäßig
über das gesamte Volumen verteilt) und umso enger die
Verteilungskurve der Festigkeitsstreuung. Heute liegen üblicherweise
erzielbare Werte zwischen 10 < m < 20. Die Bestimmung
dieser Werte erfolgt bei keramischen Werkstoffen meist im
Vierpunkt-Biegeversuch, da Zugversuche an Proben aus diesen
Werkstoffen äußerst aufwändig sind.
| F = Ausfallwahrscheinlichkeit |
= Spannung |
| u
= minimale Festigkeit |
m = Weibull-Modul |
0
= Lageparameter der Weibull-Verteilung, Festigkeit bei
63,2 % Ausfallwahrscheinlichkeit; spielt bei der Weibull-Verteilung
diejenige Rolle, die bei der Normalverteilung der Mittelwert
spielt.
Üblicherweise wird ?u = 0 gesetzt. |
Da die Anzahl der möglichen Fehlstellen
in der Keramik vom Bauteilvolumen abhängt, ist bei Berechnungen
das belastete Volumen zu berücksichtigen. Die Festigkeit
liegt deshalb bei größeren Bauteilen unter den
an Prüfkörpern gemessenen Werten. Aber auch bei
großen, belasteten Bauteilvolumen ergibt ein größerer
Weibull-Modul eine höhere Belastbarkeit. Nach der Weibull-Statistik
ergibt sich über die Volumenrelation folgende Bauteilfestigkeit:
Für das Volumen des Bauteils ist hierbei
das unter Beanspruchung stehende Volumen einzusetzen, und
die Belastungsart muss identisch sein (z. B. Zug
oder 4PB).
Für Druckbelastungen (Druckspannungen) gilt dieser Zusammenhang
nicht!
Prüfverfahren zur Bestimmung des Weibull-Moduls sind
in DIN EN 843-5 und DIN 51 110-3 festgelegt.
Bild 85: Zusammenhang zwischen Bauteilgröße
und Festigkeit bei unterschiedlichem Weibull-Modul m
Tabelle 10: Relativierung von Bauteil- und
Probenfestigkeit für unterschiedliche Festigkeitsstreuung
(Weibull-Modul m)
|
|
